五、十字相乘法
十字相乘法又叫十字分解法。简单来讲就是：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项。其实就是运用乘法公式（x a）（x b）=x2 （a b）x ab的逆运算来进行因式分解。
十字分解法能用于二次三项式的分解因式（不一定是整数范围内）。对于像ax2 bx c=（a1x c1）（a2x c2）这样的整式来说，这个方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数a1、a2的积a1•a2，把常数项c分解成两个因数c1、c2的积c1•c2，并使a1c2 a2c1正好等于一次项的系数b。那么可以直接写成结果：ax2 bx c= a1x c1）（a2x c2）。
在运用这种方法分解因式时，要注意观察、尝试，并体会，它的实质是二项式乘法的逆过程。当首项系数不是1时，往往需要多次试验，务必注意各项系数的符号。
基本式子：
x2 （p q）x pq=（x p）（x q）
例如，把2x2－7x 3分解因式。可以先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数。
分解二次项系数，只取正因数，因为取负因数的结果与正因数结果相同。
2=1×2=2×1
分解常数项：
3=1×3=3×1=（－3）×（－1）=（－1）×（－3）
用画十字交叉线的方法来表示这四种情况：
经过观察，第四种情况是正确的，这是因为交叉相乘后，两项代数和恰等于一次项系数－7。
所以，2x2－7x 3=（x－3）（2x－1）。
通常地，对于二次三项式ax2 bx c（a≠0），如果二次项系数a可以分解成两个因数之积，即a=a1a2，常数项c可以分解成两个因数之积，即c=c1c2，把a1、a2、c1、c2排列如下：
按斜线交叉相乘，再相加，得到a1c2 a2c1，若它正好等于二次三项式ax2 bx c的一次项系数b，即a1c2 a2c1=b，那么二次三项式就可以分解为两个因式a1x c1与a2x c2之积，即：
ax2 bx c=（a1x c1）（a2x c2）
像这种借助画十字交叉线分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫作十字分解法。
1．用十字相乘法做两位数乘法
方法：
（1）用被乘数和乘数的个位上的数字相乘，所得结果的个位数写在答案的最后一位，十位数作为进位保留。
（2）交叉相乘，将被乘数个位上的数字与乘数十位上的数字相乘，被乘数十位上的数字与乘数个位上的数字相乘，求和后加上上一步中的进位，把结果的个位写在答案的十位数字上，十位上的数字作为进位保留。
（3）用被乘数和乘数的十位上的数字相乘，加上第2步的进位，写在前两步所得的结果前面即可。
推导：
我们假设两个数字分别为ab和xy，用竖式进行计算，得到：
我们可以把这个结果当成一个二位数相乘的公式，这种方法将在你以后的学习中经常用到。见图1-13。
图1-13
例子：
（1）计算98×24= 。
解：
结果为2352。
所以 98×24=2352
（2）计算35×28= 。
解：
结果为980。
所以 35×28=980
（3）计算93×57= 。
解：
结果为5301。
所以 93×57=5301
练习：
（1）计算65×88= 。
（2）计算35×69= 。
（3）计算65×85= 。
2．三位数与两位数相乘
三位数与两位数相乘也可以用交叉计算法，只是比两位数相乘复杂一些而已。
方法：
（1）用三位数和两位数的个位上的数字相乘，所得结果的个位数写在答案的最后一位，十位数作为进位保留。
（2）交叉相乘1，将三位数个位上的数字与两位数十位上的数字相乘，三位数十位上的数字与两位数个位上的数字相乘，求和后加上上一步中的进位，把结果的个位写在答案的十位数字位置上，十位上的数字作为进位保留。
（3）交叉相乘2，将三位数十位上的数字与两位数十位上的数字相乘，三位数百位上的数字与两位数个位上的数字相乘，求和后加上上一步中...
（4）用三位数百位上的数字和两位数的十位上的数字相乘，加上上一步的进位，写在前三步所得的结果前面，即可。
推导：
我们假设两个数字分别为abc和xy，用竖式进行计算，得到：
我们来对比一下，这个结果与两位数的交叉相乘有什么区别，你会发现它们的原理是一样的，只是多了一次交叉计算而已。见图1-14。
图1-14
例子：
（1）计算298×24= 。
解：
结果为7152。
所以 298×24=7152
（2）计算123×36= 。
解：
结果为4428。
所以 123×36=4428
（3）计算548×36= 。
解：
结果为19728。
所以 548×36=19728
练习：
（1）计算327×35= 。
（2）计算633×57= 。
（3）计算956×31= 。
3．四位数与两位数相乘
学会了两位数、三位数与两位数相乘，那么四位数与两位数相乘相信也难不倒你了吧。它依然可以用交叉计算法，只是比三位数再复杂一些而已。
方法：
（1）用四位数和两位数的个位上的数字相乘，所得结果的个位数写在答案的最后一位，十位数作为进位保留。
（2）交叉相乘1，将四位数个位上的数字与两位数十位上的数字相乘，四位数十位上的数字与两位数个位上的数字相乘，求和后加上上一步中的进位，把结果的个位写在答案的十位数字位置上，十位上的数字作为进位保留。
（3）交叉相乘2，将四位数十位上的数字与两位数十位上的数字相乘，四位数百位上的数字与两位数个位上的数字相乘，求和后加上上一步中的进位，把结果的个位写在答案的百位数字位置上，十位上的数字作为进位保留。
（4）交叉相乘3，将四位数百位上的数字与两位数十位上的数字相乘，四位数千位上的数字与两位数个位上的数字相乘，求和后加上上一步中的进位，把结果的个位写在答案的千位数字位置上，十位上的数字作为进位保留。
（5）用四位数千位上的数字和两位数的十位上的数字相乘，加上上一步的进位，写在前三步所得的结果前面，即可。
推导：
我们假设两个数字分别为abcd和xy，用竖式进行计算，得到：
我们来对比一下，这个结果和三位数与两位数的交叉相乘有什么区别，你会发现它们的原理是一样的，只是又多了一次交叉计算而已。见图1-16。
图1-16
例子：
（1）计算1298×24= 。
解：
结果为31152。
所以 1298×24=31152
（2）计算2368×19= 。
解：
结果为44992。
所以 2368×19=44992
（3）计算9548×73= 。
解：
结果为697004。
所以 9548×73=697004
扩展阅读
类似的，你还可以用这种方法计算五位数、六位数、七位数……与两位数相乘，只是每多一位数需要多一次交叉计算而已。
练习：
（1）计算1524×35= 。
（2）计算2648×34= 。
（3）计算1982×28= 。
4．三位数乘以三位数
方法：
（1）用被乘数和乘数的个位上的数字相乘，所得结果的个位数写在答案的最后一位，十位数作为进位保留。
（2）交叉相乘1，将被乘数个位上的数字与乘数十位上的数字相乘，被乘数十位上的数字与乘数个位上的数字相乘，求和后加上上一步中的进位，把结果的个位写在答案的十位数字位置上，十位上的数字作为进位保留。
（3）交叉相乘2，将被乘数百位上的数字与乘数个位上的数字相乘，被乘数十位上的数字与乘数十位上的数字相乘，被乘数个位上的数字与乘数百位上的数字相乘，求和后加上上一步中的进位，把结果的个位写在答案的百位数字位置上，十位上的数字作为进位保留。
（4）交叉相乘3，将被乘数百位上的数字与乘数十位上的数字相乘，被乘数十位上的数字与乘数百位上的数字相乘，求和后加上上一步中的进位，把结果的个位写在答案的千位数字位置上，十位上的数字作为进位保留。
（5）用被乘数百位上的数字和乘数百位上的数字相乘，加上上一步的进位，写在前三步所得的结果前面，即可。
推导：
我们假设两个数字分别为abc和xyz，用竖式进行计算，得到：
见图1-15。
图1-15
例子：
（1）计算298×324= 。
解：
结果为96552。
所以 298×324=96552
（2）计算135×246= 。
解：
结果为33210。
所以 135×246=33210
（3）计算568×167= 。
解：
结果为94856。
所以 568×167=94856
练习：
（1）计算265×135= 。
（2）计算563×498= 。
（3）计算359×468= 。
5．四位数乘以三位数
方法：
（1）用四位数和三位数的个位上的数字相乘，所得结果的个位数写在答案的最后一位，十位数作为进位保留。
（2）交叉相乘1，将四位数个位上的数字与三位数十位上的数字相乘，四位数十位上的数字与三位数个位上的数字相乘，求和后加上上一步中的进位，把结果的个位写在答案的十位数字位置上，十位上的数字作为进位保留。
（3）交叉相乘2，将四位数百位上的数字与三位数个位上的数字相乘，四位数十位上的数字与三位数十位上的数字相乘，四位数个位上的数字与三位数百位上的数字相乘，求和后加上上一步中的进位，把结果的个位写在答案的百位数字位置上，十位上的数字作为进位保留。
（4）交叉相乘3，将四位数千位上的数字与三位数个位上的数字相乘，四位数百位上的数字与三位数十位上的数字相乘，四位数十位上的数字与三位数百位上的数字相乘，求和后加上上一步中的进位，把结果的个位写在答案的千位数字位置上，十位上的数字作为进位保留。
（5）交叉相乘4，将四位数千位上的数字与三位数十位上的数字相乘，四位数百位上的数字与三位数百位上的数字相乘，求和后加上上一步中的进位，把结果的个位写在答案的万位数字位置上，十位上的数字作为进位保留。
（6）用四位数千位上的数字和三位数百位上的数字相乘，加上上一步的进位，写在前三步所得的结果前面，即可。
推导：
我们假设两个数字分别为abcd和xyz，用竖式进行计算，得到：
见图1-17。
图1-17
例子：
（1）计算1298×324= 。
解：
结果为420552。
所以 1298×324=420552
（2）计算1234×246= 。
解：
结果为303564。
所以 1234×246=303564
（3）计算5927×652= 。
解：
结果为3864404。
所以 5927×652=3864404
扩展阅读
类似的，你还可以用这种方法计算五位数、六位数、七位数……与三位数相乘，只是每多一位数需要多一次交叉计算。
练习：
（1）计算3824×315= 。
（2）计算3515×168= 。
（3）计算3335×624= 。
6．二元一次方程的解法
我们都学习过二元一次方程组，一般的解法是消去某个未知数，然后代入求解。例如下面的问题：
我们一般的解法是把①式写成y=5－2x的形式，代入到②式中，消去y，解出x，然后代入解出y。或者将①式等号两边同时乘以2，变成4x 2y=10，与②式相减，消去y，解出x，然后代入解出y。
这两种方法在x、y的系数比较小的时候用起来比较方便，一旦系数变大，计算起来就会复杂很多。下面介绍一种更简单的方法。
方法：
（1）将方程组写成
（2）将两个式子中x、y的系数交叉相乘，并相减，所得的数作为分母。
（3）将两个式子中x的系数（一般为常数）交叉相乘，并相减，所得的数作为y的分子。
（4）将两个式子中常数和y的系数交叉相乘，并相减，所得的数作为x的分母。
（5）即x=（ce－fb）/（ae－db）；y=（af－dc）/（ae－db）。
例子：
（1）
解：
首先计算出x、y的系数交叉相乘的差，即3×2－1×1=5。
再计算出x的系数与常数交叉相乘的差，即3×10－1×10=20。
最后计算出常数与y的系数交叉相乘的差，即10×2－10×1=10。
这样，x=10/5=2，y=20/5=4。
所以结果为：
（2）
解：
首先计算出x、y的系数交叉相乘的差，即2×2－3×1=1。
再计算出x的系数与常数交叉相乘的差，即2×13－3×8=2。
最后计算出常数与y的系数交叉相乘的差，即8×2－13×1 =3。
这样，x=3/1=3，y=2/1=2。
所以结果为：
（3）
解：
首先计算出x、y的系数交叉相乘的差，即9×2－7×1=11。
再计算出x的系数与常数交叉相乘的差，即9×1－7×（－5）=44。
最后计算出常数与y的系数交叉相乘的差，即（－5）×2－1×1=－11。
这样，x=－11/11=－1，y=44/11=4。
所以结果为：
练习：
（1）
（2）
（3）
7．同分子分数的加减法
方法：
（1）分子相同，分母互质的两个分数相加（减）时，它们的结果是用原分母的积作分母，用原分母的和（或差）乘以这相同的分子所得的积作分子。
（2）分子相同，分母不是互质数的两个分数相加减，也可按上述规律计算，只是最后需要注意把得数约分为最简分数。
例子：
（1）计算
解：
所以
（2）计算
解：
所以
（3）计算
解：
所以
注意：分数减法要用减数的原分母减去被减数的原分母。
练习：
（1）计算
（2）计算
（3）计算
