大家好，今天喵小咪要跟大家一起观看三分蓝大赛，寻找抛物线运动的规律，并一起来建立抛物线的运动方程。其实抛物线运动是我们日常生活中接触到的最多的运动类型之一，它是我们生活中普遍的运动情况，我们生活中的跑跑跳跳，随手扔出去个东西，都是抛物线运动。在运动场上，各种曲线运动更是常见，比如：投出去的篮球、踢出去的足球，乒乓球、标枪、铁饼、铅球、跳高、跳远莫不如此。
图1 很抱歉视频内容没通过审核，只好用图片代替了
通过观察篮球的运行轨迹，我们会发现以下几个特点：1、球出手瞬间，其运动方向与水平方向的夹角几乎相等；2、球射入篮筐的运动方向与篮筐所在平面的夹角都差不多；3、球的最大高度几乎相等；4、球从出手到飞进篮筐的时间几乎相等；5、运动员所站位置与篮筐距离基本上相等；6、运动员采用的投篮动作基本一致。而这六个参数均跟球员的投篮位置无关。
图2 篮球出手后的运动路线示意图
进一步观察不同的球员投篮，会发现其它几个问题：1、个子矮的球员，球出手的瞬间运动方向与水平方向的夹角要比个子高的球员抛出的球的出手瞬间运动方向与水平方向的夹角更大；2、球射入篮筐瞬间的运动方向与篮筐所在平面的夹角都差不多；3、球在空中的飞行时间不同，个子矮的球员抛出的球飞行时间略长；4、如果以运动员投球的出手瞬间高度作为测量基准，球在空中的飞行高度不同，个子矮的球员投出的篮球飞行高度要更高。
图3 按帧截取的篮球运动轨迹
那么，我们观察到的这些球迹线中是不是蕴含着什么秘密呢？图3是我对视频按帧截屏后绘制的球迹线。由于不是高速摄像机拍摄的画面，数据有些粗糙。另外，摄像机处于运动员后方45°角位置拍摄，所以轨迹对称性不是太好。
根据图片收集到的相关数据：1、该视频为每秒25帧；2、从投球到进入篮筐共40帧画面中，选取了13个有球的画面；3、篮球在空中飞行时间为40/25=1.6秒；4、该场地为国际标准篮球场，3分线位置为6.75米；5、篮球的水平运动速率为：6.75/1.6≈4.219米/秒。
图4 建立投篮坐标系示意图
我们还可以发现：1、球迹线基本上呈现出以经过最高点处的垂线为对称轴的对称的形状；2、篮球出手瞬间运动方向接近45°；3、篮球在水平方向每一帧走过的距离相等、而在垂直方向是一个上抛运动。
如果不计空气浮力和阻力的作用，篮球只受到重力的作用，篮球在飞行的过程中的运动，可以分解为在水平方向上的匀速直线运动与垂直方向的上抛运动的合成。
根据上述分析我们建立对应的坐标系。（如图4）我们可以写出篮球的运动方程为ｙ＝ａｘ＾２＋ｂｘ＋ｃ，其中ａ，ｂ，ｃ为常数，可以由抛物线经过的出手点、进球点，以及出手角度决定。由于我们这次视频不是为了采集数据录制的视频，画面上的数据不精确，所以这次我们就不做计算了。
图5 篮筐、篮球、进球角度示意图
影响篮球命中蓝心的因素一、空心蓝的进球要求。
见图5，图中ＡＢ是篮圈的直径，ＡＣ为篮球的直径。当篮球在篮圈的上方附近时定义一个进球角度θ，当θ＝０时，球会垂直向下进入篮圈。反之，θ如果太大，篮球将会集中篮圈弹走。因此有一个最大的进球角θmax，当0＜θ＜θmax时，球会空心入筐。参考标准篮球直径(dB)为 24.6厘米，而篮圈直径(dR)为45厘米。cosθ=AC/AB=24.6/45得到θ≈60°，也就是说，当篮球的进球角度小于60°时，形成空心蓝的几率最大。
图6 篮球入筐角度示意图
二、三分线位置的篮球出手角度和速度
篮球在运动员投掷后，离开运动员的手之后，其球迹线就是以接近抛物线在运动。如果篮球的出手速度合适，初始速度方向与水平面的夹角适中，篮球在空中就会划出一个完美的球迹线。 这个球迹线就是抛物线包括顶点部分的一大段。投篮的角度直接影响其球迹线的平缓程度。角度越大，球迹线越陡； 角度越小，球迹线越平缓。所以，为了得到更好的投篮效果，一定要把握好篮球出手瞬间的速度和角度。（如图6）
图7 篮球受空气阻力示意图
三、空气阻力的风阻影响
入图7所示，我们前面给出的计算实际上是忽略了篮球在运动中所受到的空气阻力的影响。实际上，篮球在运动过程中要受到与运动方向相反的空气阻力的影响。在上升段，空气阻力方向向下；在下降段，空气阻力的方向向上。
根据伯努利方程得出的风速－风压关系，风的动压为：wp=0.5·ρ·v² ，其中wp为风压[kN/m²]，ρ为空气密度[kg/m³]，v为风速[m/s]。由于空气密度ρ和重度r的关系为 r=ρ·g, 因此有 ρ=r/g。可以得到：wp=0.5·r·v²/g 。此式为标准风压公式。在标准状态下(气压为1013 hPa, 温度为15°C), 重度：r=0.01225[kN/m³]。纬度为45°处的重力加速度g=9.8[m/s²], 我们得到：wp=v²/1600 。
我们根据篮球的直径可以求出篮球的截面积S=πrd^2≈0.0475m^2，我们将篮球的飞行速度代入上面的风压公式，可以得到篮球出手瞬间受到的水平方向空气阻力F≈0.528牛，我们以篮球的质量为0.6Kg来计算，其产生的加速度≈0.88m/s^2。我们看到这个量还是很大的，在三分蓝中是一个不可以忽略的量。
在水平方向，阻力为唯一的作用力。阻力破坏了篮球运动轨迹的对称性，一直起到让篮球在水平方向的运动速度减速的作用，所以我们看到篮球的实际运行轨迹在标准抛物线的下方。
在垂直方向，由于重力的影响，在垂直方向的速度变化比较大。空气阻力对于篮球在垂直阶段的影响是：上升阶段受力为重力 阻力-浮力；下降阶段为重力-阻力-浮力。阻力的大小与篮球垂直运动的速度的平方成正比，所以在垂直方向，阻力的影响比浮力要小。
图8 空气浮力的影响示意图
四、篮球受到的空气浮力的影响
篮球受到的空气的浮力等于篮球排开的空气的重量，F浮=ρ.g.V排，其中，F浮就是空气对篮球的浮力；ρ是空气的密度，大约1.29kg/m^3；g是重力加速度，我们这里取9.8m/s^2；V排就是篮球的体积，约为0.0078m^3。把这些数据代入上面的公式，我们得到空气对篮球的浮力大概是0.0986牛顿。篮球受到的重力：F重=mg，其中，F重是篮球受到的重力，m是篮球的质量，约600克，g是重力加速度，取9.8m/s^2。带入公式计算，篮球的重力大概是5.88牛顿。
对比篮球受到的重力和浮力，我们可以看到，空气对篮球的浮力大概是篮球重力的1.7%，也就是说，篮球拿在手上比实际重量轻了1.7%，这是由于篮球受到了空气浮力作用的缘故。在重力和浮力的共同作用下，当g=9.8m/s^2时，篮球在垂直方向上的实际加速度≈9.6m/s^2
图9 马格纳斯力示意图
五、马格纳斯力对篮球运行轨迹的影响
在现场看球，并且非常细心的小伙伴可能会发现，有时候，某些球员投出的篮球在空中的运行路线会跟标准的抛物线产生微小的偏折，这是因为空气摩擦不均匀造成的，这种力叫做马格纳斯力。这种力只有在篮球旋转时才起作用。回旋球马格纳斯力原理为：球在运动过程中，由于旋转，根据相对运动原理，通过球体上方的流速会加快，而球体下方的流速会减慢。篮球在快速运动的过程中，会产生一个分离点并在球体后方产生紊流，在紊流尾流中的压力低于作用在球体前段的压力而此压力差会产生阻力分力，这个力始终与运动方向垂直，不断改变篮球的飞行路线，形成弧线球（如图9）。
马格纳斯力可以有儒可夫斯基环流计算得出：F=8πρwr^3v/3。在后旋球时，产生的马格纳斯力可以将球向上托起，从而相应地增加了球的飞行弧度，增大了入蓝的角度，也必然增大入射截面。马格纳斯效应对旋转行进的篮球会造成不小的影响。由于本次视频实在是太模糊了，只能看到篮球的影子，根本看不出来是否旋转，所以此处的详细计算就略去了。
最后总结一、对三分蓝的视频的分析
我们得出投三分球的几个要点，1、篮球出手后的轨迹接近一条抛物线；2、在出手角度为45°附近时，只要篮球的出手速度稳定，命中篮筐中心的几率就非常高；3、距离更远的超远距离投篮需要更高的出手速度，阻力的影响急剧增加，命中蓝心的几率大幅度下降。所以NBA的三分线虽然只增加了不到10%的距离，但是命中率下降很多。4、如果篮球出手后，运行时间短，出手速度低，阻力就可以忽略不计，所以，同样条件下，近距离投篮的命中率是远高于远距离投篮。
二、对整个研究过程的评价
本次探讨，我们首先是对一段三分球大赛的片段进行了认真仔细的观测，并且利用视频工具，对该视频进行了按帧截图处理。并根据截图画面绘制了三分蓝的篮球运行轨迹。其次，我们通过将轨迹代入理想抛物线方程，绘制出理想轨迹。第三，我们又综合了阻力和浮力因素，对理想轨迹和实际轨迹的差异进行了定量分析。
三、本文中的目前存在的缺陷
本次探讨中，首先，没有考虑篮球撞到篮圈和打板的情况，事实上，这两种情况是经常出现的。其次，本次探讨只针对了某个球员的一次发挥，并没有考虑不同球员在不同情况下的影响；第三，由于缺乏更详实的数据，并没有对球迹进行进一步的精确计算。
四、探讨篮球飞行轨迹的题外意义
科学的研究过程是：观察客观事物，对现象进行定量测量，建立数学模型，再利用数学模型与实际测量数据进行比对，以验证模型的正确性。这也是老郭如此用心写此文的另外一个目的：希望大家通过对篮球飞行轨迹的分析过程，学习科学的研究的正确方法。
【参考文献】1、《篮球中的物理规律》|《科学》2006年 第6期 | 江进武 中科院理论物理所博士
2、《对篮球空心入网的力学要素理论模型的初步研究》|黄爱庆|哈尔滨工程大学|2009
