由此，我们可以知道，要证明一个极限，关键就是要找出存在的δ关于ε的表达式
当然，这个表达式δ(ε)的具体找出过程，只需在草稿上完成
书面上，这个过程可以大大省略（但不要全省了，要写一两步关键步骤）
举个例子：
证明：lim(x→2) x^2=4
书面：
先限制1<x<3，
考虑：
|x^2-4|
=|x+2|*|x-2|
<5*|x-2|
于是，任意ε>0，存在δ=min{1,ε/5}>0，使当|x-x0|<δ时，都有|x^2-4|<ε
根据定义，lim(x→2) x^2=4
设xn=(1+1/n)^n,我们来证{xn}单调增加并且有界。按牛顿二项公式，有
xn=(1+1/n)^n
＝1+(n/1!)*(1/n)+n*(n-1)/2!*1/n^2+……+n(n-1)……(n-n+1)/n!*1/n^n
=1+1+1/2!*(1-1/n)+1/3!*(1-1/n)*(1-2/n)+……+1/n!*(1-1/n)*(1-2/n)……[1-(n-1)/n]
类似地，
xn+1=1+1+1/2!*[1-1/(n+1)]+1/3!*[1-1/(n+1)]*[1-2/(n+1)]+……+1/(n+1)!*[1-1/(n+1)]*[1-2/(n+1)]……[1-n/(n+1)].
比较xn,xn+1地绽开式，可以看到除前两项外，xn地每一项都小于xn+1的对应项，并且xn+1还多了最后一项，其值大于0，因此
xn<xn+1
这说明数列{xn}是单调增加.这个数列同时还是有界的。
设n<=x<(n+1),则
[1+1/(n+1)]^n<(1+1/x^)n<(1+1/n)^(n+1)
且n与x同时趋于+∞。因为
lim[1+1/(n+1)]^n=lim[1+1/(n+1)]^(n+1)/[1+1/(n+1)]=e (n趋于∞)
lim(1+1/n)^(n+1)=lim[(1+1/n)^n*(1+1/n)]=e
应用夹逼定理，既得
lim(1+1/x)^x=e (x趋于+∞)
