高斯法解决线性方程组
线性方程组的基本运算对任何线性方程组进行三种操作可得到一个等价的方程组:
1. 将任意两个方程交换
2. 将系统中任何方程的所有项乘以任何不等于零的数
3. 将任意两个方程相加/相减(左右同时)
矩阵行的运算
- 交换两行
- 将一行的倍数添加到另一行
- 将一行乘以一个非零常数
从上面可以看出方程组的变换与矩阵的行变换是一致的，因此可以用矩阵变换解方程组。
行阶梯形矩阵遵循以下规则:
- 如果一行不都是零，那么第一个非零数字，称为主元。
- 对于连续两个以1开头的行，下面一行的1在上面一行的1的右边。
- 任何只有0的行都位于矩阵的底部
阶梯矩阵形式:
最简形的阶梯矩阵:
.
通过将系统的增广矩阵改写为行阶梯形来求解下列线性方程组
解：
系统的增广矩阵如下：
步骤1:在第一列中使用行操作使其生成一个主元1，但本例已有，不用这一步了。
将第(2)行加第（1）行乘-2行，在第(3)行加第（1）行乘-5。
步骤2:在第2列中使用行操作或它们的组合生成一个1(如果没有的话)，本例已有。
将- 1乘以行(2)加到行(3)
上面的矩阵是行阶梯形。相应的线性系统为：
可以将z带回上一个方程得出y, 然后求出z。
最后得出解：
前面谈到最简阶梯形矩阵，我们注意到在主元的1上下都是0。求矩阵的最简阶梯形的方法称为高斯法。
我们继续对上面最后一个增广矩阵做行变换。
将第二行加上第三行乘以6：
接着将第一行加上第三行：
最后将第一行减去第二行：
将增广矩阵改写为最简阶梯形的优点是，无需进一步计算就能给出给定方程组的解，如下所示:
总结一下高斯消元法转换为最简形的阶梯矩阵的方法是：
- 构造一个需要的增广矩阵。
- 互换行，使第一行是的首位是1，如果没有一般可以将一个合适的放在首行。
- 将首行的第一列数a去除第一行的全部元素，使首行第一个数变成1.
- 将首行乘以一个系数消掉首行下面第一列的所有元素，使其它行的首项都是0.
- 重复3-4步，使得其它非零行的首位是1，直到形成一个阶梯矩阵。
- 最后利用行运算把所得的阶梯矩阵变成最简阶梯矩阵。
上面的高斯法也可以用来求矩阵A的逆矩阵，其方法就是：
上述式子就是把增广矩阵AlI经过一系列高斯法的行变换，使得AlI变为IlC, C就是A的逆矩阵。关于逆矩阵的另外一种求法请参见 。
