中国地震学会—地球科学科普栏目
地震科普—并不遥远的非欧几何
看天上的星星尽显光辉
赏地下的河水肆意奔流
7、并不遥远的非欧几何
7.1 非欧几何
不管数学的任一分支是多么抽象，总有一天会应用在这个实际世界上。
——罗巴切夫斯基（俄）
地震波的传播方式相当复杂（图7-1），只要用它，就必须先确定传播路径或波阵面。不过波动过程远不是欧氏几何能解决的，那毕竟属于传统的、直观的空间概
念——看得见的数量关系，摸得着的空间形式。
科学研究的高级阶段，必须用抽象的、量化的、理性的思维方式和逻辑推理来认识世界。对诸如地震波、电磁场、重力场、太阳能等这些看不见摸不着的客观存在，需要从平坦的空间过渡到弯曲的空间，只能由另一类几何学去完成——非欧几里得几何学。
在地震学领域，需要先建立起广义空间的抽象概念，进而了解非欧几何在地球体形状、地图映射、抗震结构等方面的应用。大自然有知，会立刻露出笑脸、和蔼可亲。
图7-1 地震波在全球传播
7.1 非欧几何
◆ 诞生的背景
1637 年，是几何学在欧几里得之后的第一个里程碑。
法国笛卡尔（René Descartes， 图7-2）引入坐标系和线段的运算概念，终结了“数和形”各自独成一体的时代，让“数量和形状”结为夫妻成一家！
例如
直线， kx b =y
圆形， x2 y2 =r2
于是，几何的图形问题转化成代数问题，不仅催生了解析几何，还奠定了微积分的概念基础。从此，求解上述直线和圆的相交点，不再需要手工交切，只要简便地解两个方程就能得到。
图7-2 笛卡尔（1596—1650）
随后，德国数学家高斯（J Gauss，1777—1855）于1827 年把微积分引入几何，诞生了微分几何学。微分对应着直线斜率，积分恰为曲线包围的面积，从而使人类思想的自由度获得了极大解放。这些重大成就的取得，若从公元前6 世纪的勾股定理算起，人类走了2400 年！
恩格斯高度评价了笛卡尔的贡献：
数学中的转折点是笛卡尔的变数。有了变数，运动进入了数学；有了变数，辩证法进入了数学；有了变数，微分和积分也就立刻成为必要了。
常言“没有规矩，不成方圆”，中国画里的城池和田园以矩形、平行四边形、圆形为主。连皇帝的画像都一律是左右对称、中规中矩的，他自己不敢笑，画师也不敢逗他笑，更不敢画他的侧面形象。否则，就会追究责任：天子的另一个耳朵跑到哪里去啦？多画一个耳朵当然不行，少画一个也不行呀。
到了文艺复兴时期（中国的明朝），思想解放了。透视观念发展起来了，房屋街道的线条要汇聚到某一个灭尖点，视野里的车辙、轨道、河堤是能够相汇的！远处人物的身高要逐渐变小，肖像画要自然随意，不能搞成“身份证”那样的死板僵硬……也就是说，艺术作品里的世界要真实。
再如， 赤道处的两个小朋友要远足，他们都沿着垂直于赤道圈的经线向北而行（图7-3）， 在欧几里得的范畴里，两条路径肯定是永不相交的平行线。但是到了北极，两个人却相聚碰脑袋了！
敢问数学家：怎么解释现实空间？科学， 面对了一个不能回避的挑战。
图7-3 球面平行线的相交
19 世纪30 年代， 欧式几何的关于“ 平行线不相交” 的公理被突破了， 由俄国罗巴切夫斯基（M
Lobatchevsky，1792—1856） 和德国黎曼（B Riemann，1826—1866）完成（图7-4），称之为“非欧几里得几何”（简称“非欧几何”）。
28 岁的年轻人黎曼，在他1854 年的博士论文里首次将几何空间看成一个抽象而自足的空间，研究了曲率和有关的几何问题，改变了人们对空间的传统认识，成为现代物理学的基础之一。
图7-4 罗巴切夫斯基（左）和黎曼（右）
为便于理解非欧几何与欧氏几何的差异，一般用“平行线、三角形内角之和”来介绍概念（图7-5），读者可以结合图中的球面和双曲面的例子来把握这种不同。
图7-5 欧氏几何与非欧几何的差异
◆ 广义空间的抽象概念
地球磁场、电场和重力场也是比较好理解的非欧空间形态（图7-6）。它们的磁力线、电力线、重力位都是处处平行互不相交的，弯曲但又绝非直线状。
怎么定义和描述它们呢？
图7-6 地球磁场的磁力线存在于弯曲空间
怎么定义和描述它们呢？必须先扔掉旧的、习惯的“摸得着的空间形式”， 改用“看不见的数量关系”去描述。说白了，就是用“数学方程”来替代“直观形状”——列个方程、给个公式、弄个积分变换……齐活！这就是空间的精确样子，多么美丽绝伦啊。
两眼看不见？没关系。
只要所用的数学关系“在形式上”属于哪种典型的弯曲空间，就说它“存在于何种广义空间”，齐活啦！
不必难受。借用“几何形式”来表达抽象的思想并不新鲜。常言：“有棱有角的观点，中流砥柱的作用”，不也是借用了多面体和圆柱体的“几何形式”吗？没有人难受呀。大家既没有看到棱角的大小，也没有摸到柱子的高低，却笑眯眯地表示“完全赞同”，没见过谁“痛哭流涕”呀。
说穿了，“数和形”五百年前就是一家了，一家人不能说两家话。
图7-7 几何学里空间概念的进步
下面以“兔子和胡萝卜”为例，进一步讲清广义空间的概念（图7-7）。
若兔子数量（a）和胡萝卜数量（b），满足关系（a2 b2= z），z 是一辆汽车，那么兔子和胡萝卜就位于“椭圆抛物曲面”——因为它与纯空间坐标系（x，y，z）里的典型椭圆抛物方程（x2 y2=z）在形式上是相同的。至于三者的单位（即量纲）不同，只要都乘以单位成本费用，便转化为价钱了，数学上称之为“归一化处理”。
如果兔子和胡萝卜满足双曲抛物方程（a2- b2= z）的关系，那么兔子就只能在“双曲抛物曲面”的空间里吃胡萝卜！
上述，就是广义空间的抽象概念。
抽象，是科学的灵魂。科学思维必须超越现实才能深刻认识现实，掌控现实。
◆ 张量是核心
黎曼非欧几何的核心是张量。
在地震学中，应力、应变、地震矩、动量等都是张量，与坐标选取无关。应力和应变在广义空间里具有椭球曲面的关系，其长短半轴对应着最大和最小主应力方向，在岩土施工中有广泛的应用。
物理学上，爱因斯坦的场方程表明：时空里的物理量（能量、动量、张量）在数学关系上相等于时空的几何量——曲率张量。这就必然导出了广义相对论的结论：物质和能量会引发时空弯曲，重力直接来源于时空的曲率（图7-8）。
图7-8 重力源于时空的曲率
上述在“摸得着的空间形式”里无法表征的推论，属于广义空间的抽象概念。在1918年以后的天文观测中得到了证实，包括引力红移、光线偏折、水星近日点进动和雷达回波的时间延迟4 项。从而，强有力地佐证了非欧几何学的严谨性和正确性。
有了非欧几何的概念后，地震波的传播就可以利用曲线积分确定走时和路径，按照球面三角算出能量扩散，借助球谐函数分解自由震荡……继而对走时做高度校正、对纬度做球心校正、对路径做椭球校正等，全球的测震数据就能最终归一到标准的地球模型上。
上述整个过程全部是抽象的数学运算。
人们完全不需要在地球仪上搞什么测量， 也不再使用圆规和三角板。新时代里，我们要用也只能用新的手段去解决问题。“三英战吕布”时代的冷兵器，只能刀枪入库、马放南山。
图文来源：《趣味地震学》
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