欧拉恒等式被誉为最美的数学公式:
美在哪里? 美在它把5个数学常数融合于一个简单的等式中。由此可见数学常数的重要性。所以我们就先讲讲这个最美公式的故事,探讨数学之美。
科学中处处可见数学美,人们也常说“数学之美”。数学美是什么?我们能够体会花美水美风景美,人美画美艺术美,如何才能体会到数学的美呢?
比较艺术和花草风景而言,数学美更为抽象得多。例如,许多动物的眼睛也能分辨各种颜色,想必它们也能在一定程度上欣赏大自然的美景,虽然我们无法直接知道它们对美的“感受”,但是从“许多雄性动物”很美这个客观事实,可以猜测动物对“美丑”是有辨别能力的。
不过,动物不懂人类语言文字,更不懂数学语言及数学公式的内涵意义,不可能对数学公式产生美感,因而,它们不可能欣赏数学美。
任何美感都与文化有关,人们对美的欣赏则与个人的文化水平有关。
对数学美的欣赏则与一个人的教育程度、数学素养有关。即使是学理工科的,也并不是每个人都能欣赏数学之美。换言之,没有一定数学修养的人, 看到的只是一大堆繁杂讨厌的数学公式,哪有什么“美”呢?
从现代生物学的角度,科学家们用科学实验的方法测试和证明了:艺术欣赏的“美感”之来源与大脑活动有关。那么,数学公式能激发懂得它们的数学学者们的“美感”吗? 科学家们也用实验证明了这一点。
图3.1.1数学家阿蒂亚
例如,知名英国数学家迈克尔·阿蒂亚爵士(图3.1.1),在2014 年曾经利用磁共振成像技术对大脑扫描,进行了一个实验,结果证实了:数学家对数学的美感,与人们对音乐绘画等艺术产生的美感,是来源于脑部的同一个区域:前眼窝前额皮质(mOFC)A1 区。
阿蒂亚是一位黎巴嫩裔英国数学家,他在1966年荣获菲尔兹奖,2004年获阿贝尔奖,被誉为当代最伟大的数学家之一。
阿蒂亚在实验中提供了60个包含许多领域的数学公式,让16位数学家受测,分别对这些公式从丑到美打分数,并同时对他们进行脑部扫描,测量他们产生数学美感时大脑中情绪活跃的区域位置和激励程度。作者们在论文中说明了实验分析的结果,显示数学或抽象公式不但激发美感,使人产生精神上的亢奋,而且在大脑中和艺术美感共享相同的情绪区域! 见图3.1.2。
图3.1.2 方程激活区域(黄色),与艺术激活美感区(红色)相重合
阿蒂亚等人的实验不仅为“数学之美”提供了生物学的证据,而且结果显示人们对数学公式“美丑”的观念也十分有意思。
参与实验的这些数学专业人士,在提供给他们的60个公式中,评选出了一个“最丑的”和一个“最美的”数学表达式。
最丑的就没有什么可评论的了,那是一个看起来十分复杂令人费解的表达式,用无穷级数来计算 1/π。况且,这只是从60个式子中选出来的,如果给出更多的选择,一定还有更复杂、更丑的!
最美的公式被称为“欧拉恒等式”,当然也仅仅是从60个式子中脱颖而出的。不过,欧拉恒等式一直受到科学家们的好评,例如,美国物理学家理查德·费曼就曾经称该恒等式为“数学最奇妙的公式”。奇妙在哪里呢? 因为它把自然界5个最基本、最重要的数学常数e、i、π、、0极简极美地整合为一体。其中e是自然对数的底,i是虚数的单位,π是圆周率,剩下的和0,在数学上的地位就不言自明了。奇妙之处在于,凭什么把这5个常数如此简洁地联系在一起?其中还包括了像π=3.141592653…,e=2.718281828…,这种奇怪的、无限而又不重复的超越数。看起来实在太神奇了。
欧拉恒等式在数学领域产生了广泛影响,如三角函数、傅里叶级数、泰勒级数、概率论、群论等均有它的倩影。此外,在物理学等科学中,以及在工程界,也都有广泛应用。
从评选结果还可发现,大多数数学家是把朴素简单看作数学之美的重要属性。简洁,也是科学理论的重要属性。
科学理论需要凝练和浓缩,这是简洁之美。把复杂的事情简单化,是一种本领和智慧。公式的简约不等于简单,是“大智若愚,大道至简,用简去繁,以少胜多”哲学之数学体现。
但是,完全不懂数学的人是无法欣赏欧拉恒等式之美的。因此,我们首先需要知道公式中e、i、π符号所表达的意义,也顺便了解一下欧拉其人,才会真心赞叹这简洁公式之慑人之美!
莱昂哈德·欧拉(图3.1.3)出生于瑞士巴塞尔的一个牧师家庭。谁也没想到,这个拥有聪明脑袋瓜的男孩长大后改变了数学,影响了人类文明。
图3.1.3 欧拉
欧拉是一个天才! 他自小喜欢数学,不满10岁就开始自学《代数学》,年仅13岁便考入了巴塞尔大学,跟着约翰·伯努利学习数学和物理。在数学路上一帆风顺的欧拉笃信上帝,据说他曾在俄国叶卡捷琳娜大帝的宫廷上,向无神论者挑战时,就搬出了他的“上帝公式”:
“先生,
,所以上帝存在,请回答!”
欧拉老年时因白内障近乎双眼失明,却仍然在数学园里辛勤耕耘,直到生命尽头。1783年9月18日,欧拉倒在地上,抱着自己的头说道:“我死了。”一代大师停止了生命,但他的数学永存!
我们言归正传,返回到最美公式。以上曾经说过,这个公式用一个等号将5个常数联系到一起。以后我们还会分别介绍这些神奇的数学常数的来龙去脉,这里只是简略说明:其中的π是我们熟悉的圆周率,圆周长与直径之比;i叫作虚数,是 -1,我们也早就见识过。被称为自然常数的e,对非理工科的读者可能稍微生疏一点,但不管怎么样,e=2.71828…,是一个有具体数值的常数,可以用一个无限的序列(式(3.1.1))将后面的数字一个一个算出来!所以,看得见摸得着,并不使人迷惑。
照我看来,欧拉公式中最令人不解之处是ei,把一个虚数写到幂函数的指数中是什么意思啊? 我们通常了解的数学知识告诉我们:幂函数的意思是个相乘,如果是e吧,也并不难懂,不过近似是2.71828×2.71828,2个e相乘而已,即使将指数扩展到分数、小数,也可以用乘方的逆运算,开方来理解。但是,对ei而言:“i个e相乘”,就有点莫名其妙了!
数学家严肃认真且严格谨慎,不会莫名其妙写出ei。实际上,当年欧拉写出这个函数时,并不是基于幂函数表达的原始意义,而是一个新“定义”的函数!
自然常数e的定义(式(3.1.1))是约翰·伯努利的哥哥雅各布·伯努利给出的。欧拉发展了这个思想,给出指数函数的定义:
这里的exp(x),被欧拉称为“指数函数”,由式(3.1.2)所定义。表面上看,exp(x)与数值2.71828没有什么关系。然而,比较式(3.1.1)和式(3.1.2),就不难明白它们的密切关联了。并且,指数函数满足基本的指数恒等式,因此,一般也将这个指数函数的定义记为ex:
将式(3.1.2)变换一下,可得到指数函数另一个等效的定义:
既然指数函数是用式(3.1.2)或式(3.1.4)定义的,将x=i或x=iπ代入式(3.1.2)中后, eiπ的意义就不难理解了。
更进一步,将三角函数cos(x)及sin(x)的泰勒展开式代入上面的式(3.1.4)中,可以得到:
这是欧拉公式的一般形式,它将三角函数与复指数函数关联起来,再将x=π代入式(3.1.5),则可得出欧拉恒等式——最美公式。
（本篇精彩文章来自著名科普作家张天蓉博士的新书《数学的历程》）
《数学的历程：从泰勒斯到博弈论》
作者：张天蓉
出版社：清华大学出版社
出版时间：2024-04
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内容介绍
《数学的历程：从泰勒斯到博弈论》是一部数学启蒙和通识教育佳作，深受数学爱好者和数学老师喜爱。从历史的角度，勾勒出一条数学发展的脉络，阐述了重要数学思想概念产生的背景原因和来龙去脉，剖析数学定律的底层逻辑，学习数学家的思维方法。探索了有趣的数学难题以及古代中国的算学、数学悖论、奇妙的π、囚徒困境等话题，生动讲述了数学大师的逸闻趣事，让读者感受深藏的数学之美、思维的乐趣，以及科学家精神。全书实例丰富、解释通俗、表述流畅、寓意深刻。阅读它不需要太高深的数学知识，但无论是数学高手还是初学者都能从中获得乐趣和启发，开阔眼界，增长见识，从而更好地把握数学的特征与规律。
目录
数学与科学(代序)//001
1 古代数学 //005
1.1 第一位数学家 //006
1.1.1 最早的数学 //006
1.1.2 古希腊的天时地利人和 //007
1.1.3 第一位数学家何许人也? //09
1.1.4 泰勒斯对数学的贡献 //011
1.2 万物皆数 //014
1.2.1 毕达哥拉斯其人 //014
1.2.2 毕氏学派对数学的贡献 //015
1.3 芝诺悖论 //017
1.3.1 阿基里斯追乌龟 //018
1.3.2 芝诺悖论的意义 //019
1.4 几何之乡 //020
1.4.1 柏拉图的贡献 //020
1.4.2 几何大师 //022
1.4.3 非欧几何 //023
1.4.4 古希腊三大几何作图难题 //025
1.5 圆锥曲线的启示 //027
1.5.1 简述 //027
1.5.2 最早的研究 //028
1.5.3 应用 //031
1.5.4 对科学的意义 //032
1.6 阿基米德 //033
1.6.1 古希腊的伟人 //034
1.6.2 计算球体体积 //035
1.6.3 阿基米德羊皮书 //038
1.7 中国古代数学 //042
1.7.1 爱因斯坦名言和形式逻辑 //042
1.7.2 辩证逻辑 //044
1.7.3 中国人的思维特点 //045
1.7.4 古代中国的算学 //050
1.7.5 中国数学鼎盛期 //052
1.7.6 中国剩余定理 //053
1.7.7 古中国的“方程术”//056
1.7.8 古代中国女数学家 //059
2 数学危机 //063
2.1 第一次危机 //064
2.1.1 希帕索斯发现无理数 //064
2.1.2 极限概念的危机 //066
2.1.3 第一次数学危机的解决 //069
2.2 古希腊数学之衰落 //070
2.2.1 几何的延续 //070
2.2.2 托勒密和三角 //071
2.2.3 丢番图的墓碑 //073
2.2.4 希帕提娅之死 //075
2.2.5 阿拉伯的传承 //076
2.3 微积分之前 //078
2.3.1 微积分基本定理 //078
2.3.2 笛卡儿的叶形线 //079
2.3.3 业余数学家之王———费马 //081
2.4 微积分的诞生 //083
2.4.1 牛顿的流数术 //083
2.4.2 莱布尼茨的差和分 //086
2.4.3 阿涅西的女巫 //089
2.5 第二次危机 //091
2.5.1 伯克利的质疑 //092
2.5.2 柯西和魏尔斯特拉斯 //093
2.6 第三次危机 //094
2.6.1 数学悖论 //094
2.6.2 罗素悖论 //096
2.6.3 爱因斯坦和哥德尔 //99
3 数学常数 //106
3.1 最美公式 //107
3.2 虚数的故事 //112
3.3 奇妙的π //116
3.4 自然常数e//118
3.4.1 自然常数从何而来 //118
3.4.2 对数螺旋线 //120
3.4.3 飞蛾扑火的数学 //121
3.5 混沌中的常数 //123
4 微积分后 //126
4.1 哪条滑梯最快? //127
4.2 安全抛物线 //133
4.3 等时曲线 //136
4.3.1 欧拉的贡献 //136
4.3.2 摆线 //137
4.4 等周问题 //138
4.4.1 狄多女王的智慧 //138
4.4.2 格林定理 //140
4.4.3 拉格朗日乘子法 //142
4.5 数学家的绝招 //145
4.5.1 欧拉-拉格朗日方程 //145
4.5.2 弦振动问题 //149
4.6 傅里叶变换 //151
4.6.1 数学群雄 //151
4.6.2 数学的诗篇 //153
4.6.3 微分方程展宏图 //157
5 早逝的数学奇才 //162
5.1 帕斯卡三角形 //163
5.2 阿贝尔攻难关 //165
5.3 伽罗瓦创群论 //167
5.4 浅谈黎曼猜想 //172
5.4.1 早逝的大师 //172
5.4.2 黎曼ζ函数 //173
5.4.3 黎曼猜想 //175
5.5 神才拉马努金 //176
5.5.1 疯子还是天才? //176
5.5.2 计算自然数之和 //177
5.5.3 所有自然数之和等于-1/12吗? //179
6 几何与拓扑 //181
6.1 黎曼几何 //182
6.2 欧拉多面体公式 //184
6.2.1 验证欧拉多面体公式 //185
6.2.2 证明欧拉多面体公式 //185
6.2.3 欧拉多面体公式的应用 //187
6.2.4 欧拉多面体公式的拓扑意义 //187
6.3 图论趣题 //188
6.3.1 哥尼斯堡七桥问题 //188
6.3.2 五房间谜题,图论简介 //189
6.3.3 三间小屋 //191
6.4 奇妙的克莱因瓶 //194
6.5 纽结一瞥 //196
6.6 庞加莱猜想 //199
7 博弈拾趣 //202
7.1 稳定婚姻 //203
7.2 海盗分金 //206
7.3 三妻争遗产 //209
7.4 纳什均衡 //212
7.4.1 囚徒困境 //213
7.4.2 三策略博弈 //214
人名和术语 //215
参考文献 //219
后记 //220
