矩阵往往和线性方程组息息相关
矩阵的初等变换可以看成是一个方程组的方程之间两两消去的过程。回忆一下中学时期解二/三/四元一次方程的过程就知道，消去的过程并不影响方程组的解，实际上消去前后的方程组是等价的，描述了相同的变量间关系。
举个栗子，
①2a+b+c=3
②4a+2b+2c=6
③a+b+c=2
这样一个方程组写出它的增广矩阵，
A=[2 1 1 3；4 2 2 6；1 1 1 2]
我们可以初等变换为行阶梯型
[1 0 0 1；0 1 1 1；0 0 0 0]，
再把方程写出来
①a=1
②b+c=1
是否和上面那个方程组等价呢？
这个方程组才是最简形态，但是为什么上个方程组有3个方程，这个方程组只有两个方程呢，实际上之前的方程组①②是等价的，我称之为只有一个有效方程
这样初等行变换完之后化为 阶梯型 甚至 最简型，实际上就是把方程组的有效方程给挑出来了，并且还把能互相消掉的系数给消去了。有效方程的个数咱们叫它矩阵的秩(秩的原始定义不是这样的，实际上这个个数还是极大线性无关组的个数)
结论:初等变换不改变矩阵所表示的方程组，变换前后矩阵等价，矩阵的秩不变
至于其他性质，比如方阵的行列式值，特征值，迹什么的就不一定了，要看你初等变换操作是什么样的，一般情况下都会变化
结果很简单，看起来我废话了很多，是因为个人觉得把矩阵放到方程组里面理解会加深对它的理解，建立感性认识，可以少记忆很多公式，减少混淆；对我来说这个方法很实用，后面学起来要轻松不少。
常用的只有秩不变。初等变换行列变换之后矩阵都可以化成标准型，能得到的信息只剩秩，行数，列数。 扩展资料
矩阵的初等变换是指以下三种变换类型 ：
交换矩阵的两行以一个非零数k乘矩阵的某一行所有元素或者把矩阵的'某一行所有元素乘以一个数k后加到另一行对应的元素
那么矩阵初等变换之后，矩阵的秩是不会改变的
