假设我们有 2 个硬币，大硬币的半径是小硬币半径的3倍。
我们将小硬币绕着大硬币的边缘滚动，不是让它滑动：
问题来了，小硬币绕大硬币滚动时，会转动多少圈？
结果可能并不完全符合您的预期。
接下来，在本文中我们将了解一些相关的解释。另外，我们将探讨这个悖论与天文学的关系！
“显而易见”的答案
如果小硬币的周长为 C，大硬币的周长必定为 3C，因为周长与半径成正比。
这意味着为了绕完大硬币，小硬币必须移动其周长 3 倍的距离，它需要转动 3 圈。
但事实并非如此！这是实际发生的动画：
小硬币实际上旋转了 4 圈才回到原来的位置。
这可能看起来很奇怪。如果大硬币的周长是小硬币的 3 倍，小硬币旋转而不是滑动，它如何旋转 4 圈才能回到起点呢？
但这就是事实，不是一个视觉欺骗的动画，如果你用真实的硬币尝试一下，你会得到同样的结果。而且，正如我们将看到的，这也是天文学中众所周知的效应。
无论硬币的相对大小如何，小硬币总是比预期多旋转一圈。
如果小硬币是大硬币的四分之一，它会旋转 5 圈。如果它是一半大小，它会旋转 3 圈。如果两枚硬币大小相同，它就会旋转两圈。
接下来，我们将研究这个悖论的两种不同解决方案。
解决方案 1——绕圈滑行可增加额外旋转第一个解释对我来说更直观。
它基于这样的观察：从大硬币的角度来看，小硬币确实旋转 3 次。我们可以在这里看到：
小硬币上画有一条黑线，最初指向大硬币的中心。
从大硬币的角度来看，当黑线再次指向大硬币的中心时，小硬币完成了一次完整的旋转。这发生在 120 度之后，然后在 240 度之后再次发生，最后在完成 360 度的旋转之后。
因此，从这个角度来看，小硬币旋转了 3 次，每次旋转对应于硬币沿着大硬币周长的三分之一旋转。所以，这里不存在悖论。
但是，当我们以外部观察者的角度看这种情况时，我们会发现一个额外的旋转。为什么会这样？这是因为当小硬币沿着大硬币的边缘滚动时，它也在绕一个大圆圈滚动。
我们可以将这种运动分开。让我们移除较大硬币，而是将较小硬币放在一个转盘上。相对于转盘，硬币是完全静止的。
当硬币位于图像顶部时，硬币上的线指向下方；当转盘旋转 90 度后，硬币上的线指向左侧；再旋转 90 度后，硬币位于图像底部，线指向上方，依此类推。
当转盘回到初始位置时，硬币实际上已经围绕其中心旋转了一圈。
这两种效果的结合，意味着硬币将旋转 4 圈，而不是 3 圈。
解决方案 2——硬币中心移动的距离下图显示了如果我们在平坦的表面上滚动一枚小硬币会发生什么：
硬币的周长为 C。这意味着，如果圆心移动距离 C 并且圆不滑动，那么圆必须正好旋转一圈。
也可以说，如果周长为 C 的圆的中心滚动而不滑动距离 C，则该圆必须恰好转一圈。
如果我们将这个原理应用到旋转的圆上，它看起来像这样：
小硬币的半径为 r，周长为 C，大硬币的半径为 3r。
小硬币的中心沿虚线圆圈移动。该圆的半径为 r 加 3r，总共 4r。这意味着虚线圆的周长是4C。
由于小硬币的中心移动了 4C 的距离，因此必须完成 4 圈旋转。
这对我来说似乎还是有点不满意。中心移动 4C，但边缘仅沿着 3C 长度的曲线滚动，怎么运行的？
围绕多边形滚动当我们在一个正方形上滚动一枚硬币时，我们可以直观地了解会发生什么（尽管不是证明）。下面的动画显示了一个边长为 C（同样是硬币的周长）的正方形：
红线显示硬币中心绕正方形的路径。
我们先看其中一条直边。当一枚硬币沿着正方形的一侧滚动时，它恰好旋转一次（因为边长为 C）。另请注意，红色曲线的直线部分与黑色正方形的一侧长度相同。
现在，让我们看看拐角处发生了什么。硬币旋转了 90 度角。硬币与正方形接触的部分不会移动，但硬币不会滑动，它只是旋转。
在每个角，硬币的中心都遵循圆形路径。这是一个四分之一的圆，半径等于硬币的半径。绕完一个完整的正方形后，4 个圆角加起来，就是一个与硬币半径相同的完整圆。
最终，硬币将额外旋转一整圈（除了沿边缘滚动时的旋转之外）。并且硬币中心走过的路径，正好比硬币滚动的所有边的总长度长 C，但硬币没有滑动。
这与我们将小硬币围绕大硬币滚动时看到的行为相同，但在这种情况下，该行为是通过硬币在每个角上旋转来解释的。
这是八边形发生的情况：
这次有 8 条边和 8 条弧线。每条弧线都是八分之一圈，因此这些弧线加起来又构成一个完整的圆。效果与正方形相同——硬币中心的路径比图形周长长距离 C，并且硬币额外旋转 360 度。但这需要 8 个步骤，而不是 4 个。
如果我们将边数增加到 16，该模式将继续：
随着边数的增加，每条边的长度减小，每个弧的大小也减小。最终，形状趋向于圆形，因此额外的距离和角度是连续增加的，而不是分步增加的。
关于硬币的事情已经说得够多了，让我们转向更大的东西。
我们的太阳系由圆形物体组成，它们各自自身轴旋转（自转），同时绕其他圆形物体旋转（公转），同样的规律在这里也适用。
我们在这里稍微简化描述，假设我们的太阳系都在同一个平面上，这并不会太大影响结果。
示例——月亮当月球绕地球运行时，我们总是看到同一面，即近侧。我们从未看到月球的“暗”面。从我们的角度来看，月球并没有自转。同样，如果你站在月球的某个位置，地球在头顶正上方，那么地球将始终在头顶正上方。
这是它的示意图：
我们总是看到月球同一面的原因是，月球本身围绕其轴旋转的时间（自转），恰好等于绕地球公转的时间。月球绕地球公转大约需要 27.332 天，而月球绕自身轴旋转也需要同样的时间。
这两个时间段几乎是相同的。即使它们相差 0.1%，我们也会看到月球旋转得非常缓慢（它将花费近 40 年才能旋转半圈，这样我们就会看到它的对面）。但这并没有发生。当然，这不是巧合，而是由潮汐锁定引起的。
示例——恒星众所周知，地球一天是 24 小时，绕太阳公转一周大约需要 365.25 天。
但这是我们是从地球上观察到的。如果外星人在远离太阳系的地方观察我们的星球，他们看到地球在一年内是旋转了 366.25 圈吗？
当然是的，我们所见的一切，都证明了这一点。但对于两位观察者来说，一年仍然是一年。那么，这多出来的一天是从哪里来的呢？
差异，在于对一天的不同定义。以下是我们地球人对一天的看法：
如果我们在太阳在头顶上方时启动时钟，然后，等待太阳再次出现在头顶上方，我们会发现已经过去了 24 小时。为了清楚起见，该图被夸大了，地球绕太阳旋转大约每天 1 度。
以下是外星观察者测量一天的方法：
他们将一天视为地球在其参照系中完整旋转一周。地球自转一周大约需要 23 小时 56 分钟。地球还需要再旋转 4 分钟，太阳才能再次出现在头顶上方。这称为恒星日，它比地球日稍短，一年实际上有 366.25 个恒星日。
我们可以通过观察遥远恒星的位置，来从地球上观察恒星日。它们需要 23 小时 56 分钟才能重新出现在同一个位置，因为这是地球绕其轴旋转 360 度的实际时间。
额外的 4 分钟是太阳再次出现在头顶所需的时间，因为，地球在自转的同时也在公转，所以我们需要稍微多等一会儿。
