数学与艺术：如何相遇又相知

蔡天新

英国数学家奥古斯都·德·摩根说：“数学发现的动力不是理性，而是想象。”德国画家阿尔布雷特·丢勒说：“真正的艺术是包含在自然之中的。”最初的数学和艺术是各自独立产生的，都源于人类生存的需要。那么它们在历史的长河里是如何发展、相遇而又碰撞的呢？这便是《数学与艺术》一书想要探讨的问题。

公元前11世纪，周文王之子、周武王之弟周公旦在洛水北岸建造了洛阳，后来成为东周国都。与周公旦同时代的大夫商高是西周初年的数学家，他率先指出了第一组勾股数：“勾广三，股修四，径隅五。”这就意味着，此乃勾股定理的特例，后者是中国数学家的独立发现，比古希腊的毕达哥拉斯定理要早。

据中国最早的数学典籍之一《周髀算经》记载，一次周公旦在镐京问商高：“听说大夫擅长数学。天没有台阶可攀登，地又不能用尺寸测量，请问数是怎样得来的？”商高回答：“数是根据圆和方的道理得来的，圆从方来，方又从矩来，矩是依据乘法表来的。”周公曰：“大哉言数！”

数学诞生于游牧时代，那时人们的主要财产是牲畜。为了计算它们的只数，人们便学会了计数，继而学会了加法和减法。与此相应的是，诗歌可能是最早出现的文学形式，不过那时恐怕已进入农耕时代，人类已择地居住下来了。由于缺少科学技术和其他手段，为了有好的收成，人们只能祈求上苍风调雨顺。为此需要祷告即念念有词，诗歌因此诞生。

在艺术史上，最古老的创作形式可能要数岩画，这方面有据可查。1879年和1940年，一对西班牙父女和四名法国儿童先后发现了1.5万年前的史前岩画，分别是在西班牙北部桑坦德市的阿尔塔米拉岩洞和法国南方多尔多涅省的拉斯科岩洞里。这两个岩洞的墙壁上都刻画有许多野牛、长毛象和驯鹿等动物，它们是冰河时代人类用简陋的石头或骨头工具完成的。而在我国大西北，宁夏中卫市的黄河北岸，方圆450平方公里的大麦地岩洞里，也有1万多幅史前岩画，其中一部分属于旧石器晚期到新石器时代。

学者们猜测，那些原始狩猎者可能认为，只要他们画了狩猎图，再用长矛或石斧痛打一番，真正的野兽便会束手就擒。显而易见，正如代数与时间艺术——音乐有着较为密切的关系，空间艺术——绘画也与几何相互作用。进一步，不同时期的绘画与几何之间，又存在着不一样的相互关系。例如，文艺复兴时期的艺术与欧氏几何，毕加索的立体主义与非欧几何，后现代主义艺术与分形几何。

20世纪美国数学史家莫里茨·克莱因认为，“文艺复兴是数学精神的复兴”。文艺复兴时期的意大利画家达·芬奇也承认，“只有紧紧地依靠数学，才能穿透那琢磨不透的思想迷魂阵。”也正因为文艺复兴打通了数学与艺术的界限，才使得接下来的17世纪成为“天才的世纪”，且有多位横跨文理的巨人。以至于英国哲学家怀特海在列举了诸多伟大发现之后感叹道：“这个世纪可以说是时间不够，没法把天才人物的重大事件摆布开来。”

相比之下，音乐与数学的关系更为隐秘，但历史却更加悠久，肇始于毕达哥拉斯时代。有一天，当这位哲人走过一家铁匠铺，听到了叮叮当当的声音，他经过研究，发现了音程之间的数的关系，继而提出了“万物皆数”这一哲学论断，持续影响了后世的欧洲文明。而到了18世纪和19世纪，德意志的名山哈茨山南北两侧，两座地理上对称的小城埃森纳赫和不伦瑞克，相继诞生了“音乐之父”巴赫和“数学王子”高斯。前者被誉为“音乐家中的数学家”，后者的数学发现和理论有着天籁般的音乐之美。而与巴赫同时代的瑞士数学家欧拉则撰写了著作《音乐新理论的尝试》，他还提出了音网的概念，如今仍应用于和声学的研究。

高斯是非欧几何学的三位发现者之一，另一位发现者、匈牙利数学家鲍耶生前籍籍无名，但却有一句话流传后世，“从虚无中，我开创了一个新的世界。” 非欧几何学大大拓广了数学的研究领域，它与欧氏几何最主要的区别在于公理体系中采用了不同的平行公设。在黎曼几何中，球面上的直线是大圆（圆心在球心的圆），两点间的最短距离是经过这两点的大圆上的弧线。例如，从上海飞纽约的最短航线不是经过太平洋，而是经过北冰洋。爱因斯坦的广义相对论原理也在于此，引力源于时空弯曲，光沿着弯曲的弧线传播。

进入20世纪以来，抽象化成为数学和艺术的共性。书中各举它们的两个主要分支——拓扑学和抽象代数、超现实主义和表现主义为例，说明共性和个性的存在。拓扑学有着华丽的几何外表，而抽象代数充斥着理性的符号。在同时代的诸多现代主义艺术流派中，也有两个有着颇为相似的风格特征，那便是载歌载舞的超现实主义和含蓄内敛的表现主义。有趣的是，弗洛伊德遗产的继承人、法国哲学家拉康不仅用语言学重新阐释了弗氏学说，还把拓扑学和集合论作为精神分析学优先研究的外部对象。

说到数学和艺术的关系这个主题，有许多科学家和艺术家都曾做过不同程度的探讨。但我留意到，他们更关注数学和艺术的外在形式，比如对称之美（也有的在方法论上做过探究）。但从数学和艺术的发展历程来揭示它们之间的相似性和本质属性，似乎还没有人作系统的阐释。《数学与艺术》是这方面的一次尝试。幸运的是，我在数学和艺术两方面都有长时间的实践和探索，有着第一手的经验和认识，再加以适当提炼和总结写成，期待大家的批评指正。