方程组 A x = 0 Ax=0Ax=0 和 B x = 0 Bx=0Bx=0 同解的充要条件为两矩阵的行向量组等价，即可以互相表示。齐次线性方程组的全部解构成的集合中包括零解、且对线性运算是封闭的。该几何的最大无关组称为该方程组的基础解系，可用该基础解系表达该方程组的全部解，即通解。
基础解系的特点：一般存在且不唯一；可通过初等行变换求解基础解系；基础解系的意义在于可使用有限个解表达无穷解。
A经过一系列初等变换等到B,称A与B等价,也就是存在可逆阵PQ使B=PAQ，那么AB秩相等。
而AB相似是存在可逆阵P使B=P－1AP，由此可见相似的结论强于等价。
具有的性质更多了：比如特征值相同，行列式相同
等价一般是指可以通过初等变换变成另一个，本质上只需要两个矩阵秩相同就可以了。是个很宽泛的条件，应用不大。
A相似于B，是存在非异矩阵P，使得PAP^-1=B,这个是线性代数或者高等代数里面最重要的关系，高等代数一半左右都在研究这个。相似可以推出等价。
相关如下
1,等价矩阵的性质：
2,矩阵A和A等价(反身性）；
3,矩阵A和B等价，那么B和A也等价(等价性）；
4,矩阵A和B等价，矩阵B和C等价,那么A和C等价（传递性）；
5,矩阵A和B等价，那么IAI=KIBI。(K为非零常数)
6,具有行等价关系的矩阵所对应的线性方程组有相同的解
87,对于相同大小的两个矩形矩阵，它们的等价性也可以通过以下条件来表征：
（1）矩阵可以通过基本行和列操作的而彼此变换。
（2）当且仅当它们具有相同的秩时，两个矩阵是等价的
